مقدمه
در دنیای مهندسی، مدل‌سازی دقیق انتقال حرارت در دامنه‌های پیچیده همواره یکی از چالش‌های مهم بوده است. از طراحی خنک‌کننده‌های الکترونیکی گرفته تا شبیه‌سازی فرآیندهای صنعتی، حل معادلات انتقال حرارت در دامنه‌های با هندسه پیچیده نیازمند استفاده از روش‌های عددی پیشرفته است. یکی از این روش‌ها، استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته (Unstructured Grids ) در ترکیب با روش حجم محدود (Finite Volume Method) است.
در این مطلب، به بررسی نحوه استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته برای حل معادله انتقال حرارت دو بعدی می‌پردازیم. این روش، که الهام‌گرفته از مقاله "Proposing A Numerical Solution for the 3D Heat Conduction Equation" است، قابلیت مدل‌سازی دامنه‌های پیچیده را با دقت بالا فراهم می‌کند. تفاوت اصلی این پروژه با مقاله اصلی، تمرکز آن بر حالت دو بعدی و استفاده از شبکه‌های غیرساختاریافته است.
مواد و روش‌ها
معادله انتقال حرارت
معادله اصلی انتقال حرارت دو بعدی به صورت زیر بیان می‌شود:
در این معادله:
- T : دما (بر حسب کلوین)
- ρ : چگالی ماده بر حسبkg/m3) )
- C : ظرفیت گرمایی ویژه بر حسبJ/kg/ K) )
- q : بردار شار حرارتی که با استفاده از قانون فوریه به صورت زیر تعریف می‌شود:
روش حجم محدود
روش حجم محدود یکی از پرکاربردترین روش‌ها در حل عددی معادلات دیفرانسیلجزئی است. در این پروژه، دامنه حل به چندین حجم کنترل تقسیم شده و معادلات برای هر حجم کنترل به صورت جداگانه حل می‌شوند. برای گسسته‌سازی معادله اصلی، از قضیه واگرایی گاوس استفاده شده است:
این رابطه به ما اجازه می‌دهد تا انتگرال‌های حجمی‌را به انتگرال‌های سطحی تبدیل کنیم. معادله گسسته‌شده به صورت زیر خواهد بود:
