معادلات سهموی ( Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی مانند انتقال حرارت، انتشار مواد و دینامیک سیالات استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش ضمنی AFI (Alternating Direction Implicit ) است. این روش به ویژه برای مسائل دو بعدی و سه بعدی که نیاز به دقت بالا و پایداری عددی دارند، بسیار مناسب است.
1. مقدمه‌ای بر معادلات سهموی
معادله سهموی عمومی‌به شکل زیر است:
که در آن:
• ( u(x, y, tتابع ناشناخته است.
• αضریب نفوذ است.
• (f(x, y, tتابع منبع یا بارگذاری است.
2. روش (AFI (Alternating Direction Implicit
روش AFIیک تکنیک عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی است که با استفاده از ترکیب روش‌های ضمنی و تفاضل محدود، به حل معادلات سهموی کمک می‌کند. این روش به صورت زیر عمل می‌کند:
1. تقسیم زمان : معادله را به صورت ضمنی در دو جهت مختلف حل می‌کنیم.
2. حل در یک جهت : ابتدا معادله را در یک جهت ( مثلاً x) حل می‌کنیم و سپس در جهت دیگر (y).
3. تکرار : این فرآیند تکرار می‌شود تا به دقت مطلوب برسیم.
متلب
در اینجا یک پیاده‌سازی ساده از روش AFI در متلب آورده شده است:
