خدمات مشاوره مهندسی- اموزش و انجام پروژه شبیه سازی صنعتی دانشجویی

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) در بسیاری از زمینه‌های علمی‌و مهندسی، به ویژه در مدل‌سازی انتقال حرارت و diffusion، کاربرد دارند. یکی از روش‌های عددی موثر برای حل این معادلات، روش Crank-Nicolson است که به عنوان یک روش ضمنی شناخته می‌شود. این روش ترکیبی از روش‌های پیشرو ( Explicit) و پسرو ( Implicit) است و به دلیل پایداری بالای آن، به ویژه برای مسائل با زمان طولانی، بسیار محبوب است

شرط مرزی نیومن

شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، برای تابع ( u(x, t، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن nجهت نرمال به مرز و ( g(x, tتابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.

روش Crank-Nicolson

روش Crank-Nicolson یک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهمویاستفاده می‌شود. این روش با استفاده از میانگین مقادیر در دو زمان nو n+1کار می‌کند. معادله عمومی‌برای این روش به صورت زیر است:

uᵢⁿ⁺¹ - uᵢⁿ / Δ t = 1 / 2 (( ∂² u / ∂ x² |ᵢⁿ + ∂² u / ∂ x² |ᵢⁿ⁺¹ ))

پیاده‌سازی در متلب

کد متلب

توضیحات کد متلب

1. • پارامترها : طول دامنه، زمان نهایی، تعداد نقاط فضایی و زمانی و ضریب انتشار تعریف شده‌اند.

2. • ماتریس‌های A : برای حل ضمنی معادله تشکیل می‌شوند.

3. • شرایط مرزی نیومن: با تنظیم مقادیر مناسب در ماتریس Aاعمال می‌شود.

4. • حل معادله: با استفاده از یک حلقه، مقادیر دما در زمان‌های مختلف محاسبه می‌شود.

5. • نمایش نتایج: نتایج به صورت سه‌بعدی نمایش داده می‌شود.

نصویر

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های انتقال حرارت و دیگر فرآیندهای دینامیکی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های عددی برای حل این معادلات،

روش ( BTCS (Backward Time Central Space است که یک روش ضمنی می‌باشد.

شرط مرزی نیومن

شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، برای تابع ( u(x, t، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن nجهت نرمال به مرز و ( g(x, tتابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.

روش BTCS

روش BTCS یک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهمویاستفاده می‌شود. در این روش، مقادیر زمان

n+1با استفاده از مقادیر زمان nمحاسبه می‌شود و به دلیل ضمنی بودن، نیاز به حل یک سیستم معادلات خطی دارد.

پیاده‌سازی در فرترن

کد فرترن

توضیحات کد فرترن

1. مشابه متلب، پارامترها تعریف شده و آرایه‌ها تخصیص داده می‌شوند.

2. شرایط اولیه تعیین می‌شود.

3. در حلقه اصلی، مقادیر دما با استفاده از روش BTCS محاسبه می‌شود.

4. شرایط مرزی نیومن در انتهای دامنه اعمال می‌شود.

5. نتایج باید با استفاده از کتابخانه‌های گرافیکی نمایش داده شود.

تصویر

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های انتقال حرارت و دیگر فرآیندهای دینامیکی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های عددی برای حل این معادلات،

روش ( BTCS (Backward Time Central Space است که یک روش ضمنی می‌باشد.

شرط مرزی نیومن

شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، برای تابع ( u(x, t، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن nجهت نرمال به مرز و ( g(x, tتابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.

روش BTCS

روش BTCSیک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهمویاستفاده می‌شود. در این روش، مقادیر زمان

n+1با استفاده از مقادیر زمان nمحاسبه می‌شود و به دلیل ضمنی بودن، نیاز به حل یک سیستم معادلات خطی دارد.

پیاده‌سازی در متلب

کد متلب

توضیحات کد متلب

• پارامترها : طول دامنه، زمان نهایی، تعداد نقاط فضایی و زمانی و ضریب انتشار تعریف شده‌اند.

• ماتریس‌های A : برای حل ضمنی معادله تشکیل می‌شوند.

• شرایط مرزی نیومن : با تنظیم مقادیر مناسب در ماتریس A اعمال می‌شود.

• حل معادله : با استفاده از یک حلقه، مقادیر دما در زمان‌های مختلف محاسبه می‌شود.

مقدمه

معادلات سهموی( Parabolic Equations ) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های انتقال حرارت و دیگر فرآیندهای دینامیکی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های عددی برای حل این معادلات،

روش ( BTCS (Backward Time Central Space است که یک روش ضمنی می‌باشد.

شرط مرزی نیومن

شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، برای تابع ( u(x, t، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن nجهت نرمال به مرز و ( g(x, tتابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.

روش BTCS

روش BTCS یک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهمویاستفاده می‌شود. در این روش، مقادیر زمان

n+1با استفاده از مقادیر زمان nمحاسبه می‌شود و به دلیل ضمنی بودن، نیاز به حل یک سیستم معادلات خطی دارد.

پیاده‌سازی در پایتون

کد پایتون

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی و مهندسی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش ( ADI (Alternating Direction Implicit) است. این روش به ویژه در مسائل چند بعدی و زمانی که پایداری و دقت اهمیت دارد، کاربردی است.

فرم کلی معادله سهموی

معادله سهموی به شکل زیر است:

که در آن:

• u: تابع ناشناخته (مثلاً دما یا غلظت)

• t : زمان

• x: مکان

• α: ثابت انتشار

• ( f(x, t: تابع منبع یا منبع حرارتی

روش ADI

روش ADIیک تکنیک عددی است که به حل معادلات دیفرانسیلجزئی سهموی کمک می‌کند. این روش به دو مرحله تقسیم می‌شود:

1. مرحله اول : حل معادله در جهت اول (به عنوان مثال، محور x)

2. مرحله دوم : حل معادله در جهت دوم (به عنوان مثال، محور y)

این رویکرد به ما اجازه می‌دهد تا از مزایای روش‌های ضمنی استفاده کنیم بدون اینکه نیاز به حل یک سیستم بزرگ از معادلات خطی داشته باشیم.

مراحل اجرای روش ADI

1. گسسته‌سازی دامنه : دامنه زمانی و مکانی را به شبکه‌ای گسسته تقسیم کنید.

2. تبدیل معادله به سیستم خطی : با استفاده از روش ضمنی، معادله را به یک سیستم خطی تبدیل کنید.

3. حل سیستم خطی : از روش‌های عددی برای حل سیستم خطی استفاده کنید.

4. به‌روزرسانی مقادیر : مقادیر جدید را در شبکه گسسته به‌روزرسانی کنید و مراحل را تکرار کنید.

کد نویسی با متلب

کد متلب برای حل معادله سهموی با روش ADI

در اینجا یک کد ساده برای حل معادله انتقال حرارت در یک میله یک بعدی با استفاده از روش ADI آورده شده است:

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی و مهندسی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش ( ADI (Alternating Direction Implicit) است. این روش به ویژه در مسائل چند بعدی و زمانی که پایداری و دقت اهمیت دارد، کاربردی است.

فرم کلی معادله سهموی

معادله سهموی به شکل زیر است:

که در آن:

• u: تابع ناشناخته (مثلاً دما یا غلظت)

• t : زمان

• x: مکان

• α: ثابت انتشار

• ( f(x, t: تابع منبع یا منبع حرارتی

روش ADI

روش ADIیک تکنیک عددی است که به حل معادلات دیفرانسیلجزئی سهموی کمک می‌کند. این روش به دو مرحله تقسیم می‌شود:

1. مرحله اول : حل معادله در جهت اول (به عنوان مثال، محور x)

2. مرحله دوم : حل معادله در جهت دوم (به عنوان مثال، محور y)

این رویکرد به ما اجازه می‌دهد تا از مزایای روش‌های ضمنی استفاده کنیم بدون اینکه نیاز به حل یک سیستم بزرگ از معادلات خطی داشته باشیم.

مراحل اجرای روش ADI

1. گسسته‌سازی دامنه : دامنه زمانی و مکانی را به شبکه‌ای گسسته تقسیم کنید.

2. تبدیل معادله به سیستم خطی : با استفاده از روش ضمنی، معادله را به یک سیستم خطی تبدیل کنید.

3. حل سیستم خطی : از روش‌های عددی برای حل سیستم خطی استفاده کنید.

4. به‌روزرسانی مقادیر : مقادیر جدید را در شبکه گسسته به‌روزرسانی کنید و مراحل را تکرار کنید.

کد نویسی با فرترن

کد فرترن برای حل معادله سهموی با روش ADI

در اینجا یک کد ساده برای حل معادله انتقال حرارت در یک میله یک بعدی با استفاده از روش ADI آورده شده است:

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) به طور گسترده‌ای در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی و مهندسی استفاده می‌شوند. یکی از روش‌های مؤثر برای حل این معادلات، روش ( ADI (Alternating Direction Implicit) است. این روش به ویژه در مسائل چند بعدی و زمانی که پایداری و دقت اهمیت دارد، کاربردی است.

فرم کلی معادله سهموی

معادله سهموی به شکل زیر است:

که در آن:

• u: تابع ناشناخته (مثلاً دما یا غلظت)

• t : زمان

• x: مکان

• α: ثابت انتشار

• ( f(x, t: تابع منبع یا منبع حرارتی

روش ADI

روش ADIیک تکنیک عددی است که به حل معادلات دیفرانسیلجزئی سهموی کمک می‌کند. این روش به دو مرحله تقسیم می‌شود:

1. مرحله اول : حل معادله در جهت اول (به عنوان مثال، محور x)

2. مرحله دوم : حل معادله در جهت دوم (به عنوان مثال، محور y)

این رویکرد به ما اجازه می‌دهد تا از مزایای روش‌های ضمنی استفاده کنیم بدون اینکه نیاز به حل یک سیستم بزرگ از معادلات خطی داشته باشیم.

مراحل اجرای روش ADI

1. گسسته‌سازی دامنه : دامنه زمانی و مکانی را به شبکه‌ای گسسته تقسیم کنید.

2. تبدیل معادله به سیستم خطی : با استفاده از روش ضمنی، معادله را به یک سیستم خطی تبدیل کنید.

3. حل سیستم خطی : از روش‌های عددی برای حل سیستم خطی استفاده کنید.

4. به‌روزرسانی مقادیر : مقادیر جدید را در شبکه گسسته به‌روزرسانی کنید و مراحل را تکرار کنید.

کد نویسی با پایتون

کد پایتون برای حل معادله سهموی با روش ADI

در اینجا یک کد ساده برای حل معادله انتقال حرارت در یک میله یک بعدی با استفاده از روش ADI آورده شده است:

مقدمه

معادلات سهموی (Parabolic Equations) در بسیاری از زمینه‌های علمی‌و مهندسی، به ویژه در مدل‌سازی انتقال حرارت و diffusion، کاربرد دارند. یکی از روش‌های عددی موثر برای حل این معادلات، روش Crank-Nicolson است که به عنوان یک روش ضمنی شناخته می‌شود. این روش ترکیبی از روش‌های پیشرو ( Explicit) و پسرو ( Implicit) است و به دلیل پایداری بالای آن، به ویژه برای مسائل با زمان طولانی، بسیار محبوب است

شرط مرزی نیومن

شرط مرزی نیومن به معنای تعیین مقدار مشتق تابع در مرزهای دامنه است. به عنوان مثال، برای تابع ( u(x, t، شرط مرزی نیومن به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن nجهت نرمال به مرز و ( g(x, tتابعی است که می‌تواند به زمان و فضا وابسته باشد.

روش Crank-Nicolson

روش Crank-Nicolson یک روش عددی ضمنی است که برای حل معادلات سهمویاستفاده می‌شود. این روش با استفاده از میانگین مقادیر در دو زمان nو n+1کار می‌کند. معادله عمومی‌برای این روش به صورت زیر است:

uᵢⁿ⁺¹ - uᵢⁿ / Δ t = 1 / 2 (( ∂² u / ∂ x² |ᵢⁿ + ∂² u / ∂ x² |ᵢⁿ⁺¹ ))

پیاده‌سازی در فرترن

کد فرترن

توضیحات کد فرترن

1. • مشابه متلب، پارامترها تعریف شده و آرایه‌ها تخصیص داده می‌شوند.

2. • شرایط اولیه تعیین می‌شود.

3. • در حلقه اصلی، مقادیر دما با استفاده از روش Crank-Nicolson محاسبه می‌شود.

4. • شرایط مرزی نیومن در انتهای دامنه اعمال می‌شود.

5. • نتایج باید با استفاده از کتابخانه‌های گرافیکی نمایش داده شود.

مقدمه

روش تکرار ژاکوبی یکی از روش‌های عددی برای حل معادلات خطیاست. این روش به ویژه زمانی مفید است که ماتریس معادله دارای ویژگی‌های خاصی باشد، مانند ماتریس‌های قطری غالب. در این مطلب، ما به بررسی این روش و پیاده‌سازی آن در زبان برنامه‌نویسی متلب خواهیم پرداخت.

توضیح روش تکرار ژاکوبی

فرض کنید ما یک سیستم معادلات خطیبه شکل زیر داریم:

Ax = b

که در آن Aیک ماتریس n × n و bیک بردار n × 1 است. برای استفاده از روش تکرار ژاکوبی، ماتریس Aرا به دو قسمت تقسیم می‌کنیم:

A = D + L + U

که در آن:

• D ماتریس قطری است.

• L ماتریس زیرقطری (درایه‌های زیر قطر اصلی).

• U ماتریس بالاقطری (درایه‌های بالای قطر اصلی).

معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:

که در آن ) x⁽ᵏ تخمین x در گام k است.

پیاده‌سازی در متلب

در زیر کد متلب برای پیاده‌سازی روش تکرار ژاکوبی آورده شده است:

توضیحات کد:

• ابتدا ماتریس A و بردار b تعریف می‌شوند.

• تخمین اولیه برای x برابر با صفر قرار داده می‌شود.

• حلقه اصلی برای تکرار تا حداکثر تعداد مشخص شده یا همگرایی انجام می‌شود.

• در هر تکرار، مقدار جدید برای هر عنصر از x محاسبه می‌شود.

• در نهایت، نتیجه نهایی نمایش داده می‌شود.