مقدمه
روش گاوس-سایدل (Gauss-Seidel) یکی از روش‌های عددی برای حل سیستم‌های معادلات خطی است. این روش به‌ویژه در مسائل مهندسی و علوم پایه کاربرد دارد و به دلیل سادگی و کارایی‌اش در حل معادلات، به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد.
توضیح روش گاوس-سایدل
روش گاوس-سایدل یک تکنیک تکراری است که به صورت زیر عمل می‌کند:
1. یک سیستم معادلات خطی به فرم Ax = b داریم.
2. معادلات را به گونه‌ای بازنویسی می‌کنیم که هر متغیر به سایر متغیرها وابسته باشد.
3. با استفاده از مقادیر جدید، مقادیر متغیرها را به‌روزرسانی می‌کنیم.
4. این فرآیند تا زمانی که تغییرات در مقادیر متغیرها کمتر از یک آستانه مشخص باشد ادامه می‌یابد.
الگوریتم
فرض کنید سیستم معادلات زیر را داریم:
4x₁ + x₂ - x₃ = 7
x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 13
-x₁ + 2x₂ + 4x₃ = -2
مراحل انجام کار:
1. معادلات را برای هر متغیر جدا کنید.
2. با استفاده از مقادیر اولیه، مقادیر جدید را محاسبه کنید.
3. تکرار کنید تا همگرایی حاصل شود.
کد متلب
در زیر کد متلب برای پیاده‌سازی روش گاوس-سایدل ارائه شده است:
توضیحات کد:
- ابتدا ماتریس A و بردار b تعریف می‌شوند.
- مقدار اولیه برای متغیرها صفر در نظر گرفته می‌شود.
- حلقه تکراری برای محاسبه مقادیر جدید و بررسی همگرایی استفاده می‌شود.
- در نهایت، نتیجه نهایی نمایش داده می‌شود.
نتیجه‌گیری
روش گاوس-سایدل یک روش مؤثر و ساده برای حل سیستم‌های معادلات خطی است. این روش در بسیاری از مسائل مهندسی و علمی‌کاربرد دارد و با استفاده از زبان برنامه‌نویسی متلب به راحتی پیاده‌سازی می‌شود.